2.3 探讨一串现象并找出规则

2.3.1 导数和积分的起源

“连续”的观念曾让古希腊人大伤脑筋，著名的芝诺悖论（Zeno's paradox）就反映了这种艰辛努力的过程。他们没有得到满意的代数处理，通常用一些几何上的间隔来表示。牛顿按照希腊人的风格，用几何作运算。正因为如此，今天我们觉得牛顿所著的《自然科学的数学原理》一书很难读。在这本书中，包含了导数作为极限的一个复杂的讨论。

理工科学生进入大学后，学习物理学的第一章是质点运动学，即要接触新知识：坐标系、矢量、微积分；甚至一些记号如极限和求导，对他们来讲都是陌生的。由于数学课程的滞后，使得物理教学处于尴尬的境地：如果回避微积分，那么大学物理教学就没有新意；若过度使用高等数学，则诱发学生的畏难情绪。如何破解这个悖论呢？不妨从历史上建立微积分的物理需求入手，从牛顿创建《流数术》到莱布尼茨引入微积分记号；从作一条曲线的切线到平均速度取极限定瞬时速度；从质点速度沿其轨迹的切线到运动投影分解，来梳理它们之间的逻辑关系。

建立微积分的最后形式经过了一段漫长的历史，其中求任意曲线的切线是微分的基本问题，它的基础是极限，而无穷小量的概念起着至关重要的作用。在牛顿之前，亦有极高天赋的人辛勤探索了微积分应用——曲线切线的作法，曲线长度和曲线所围面积的求法，但是对微积分的基本原理加以严谨解释的当属牛顿[17]。牛顿的《流数术》一书写成于1671年，直到1736年才出版。牛顿在这本书中改变了变量是由无穷小元素所构成的看法，而从运动学的观点来研究问题。这个观点说，数学量是由连续运动产生的，就好像一条线是由一个以确定速度运动的点描写的一样。他把一个生长中的量称为流量（fluent），用几个字母v、x、y、z来表示它们；其生长率称为流量的流数（fluxion），也称为迅度，用带点的字母表示，如；一个无限小的时间间隔称为一个瞬（moment），并用字母o（现在常用dt）来表示；在无限短时间内流量所增加的无限小部分称为流量的瞬。某个量x的瞬可表为它的迅度x˙与无穷小量o的乘积，即，并且彼此之间的关系也就是彼此之间的关系。

不过，牛顿似乎在极限概念的周围徘徊。牛顿在之后的一本著作《曲线求积法》中，试图消除无穷小的痕迹，而代之以基本的和最终的比。他曾预料到这个诘难，写道：“有人反对，说趋于零的量的最终比是不存在的，因为在这些量还没有等于零的时候，比值并不是最终的，而当它们等于零的时候，又什么都没有了。”回答是不难的，这里有一个极限，它是运动终了时所能达到但不能超过的速度。所以，极限和求导在物理上更容易讲得通。用精巧的符号来表达微积分的功绩应归于莱布尼茨（Gottfried Wihelm Leibniz,1646—1716，德国哲学家和数学家），以至于后人将积分符号“∫”调侃为莱布尼茨用梳子梳理头发时产生的灵感，其实是从拉丁文“summa”（和）而来的，即把头一个字母“s”拉长成为“∫”（图2-4）。

扩展阅读：P2．超越莱布尼茨微积分和牛顿力学

2.3.2 在三种坐标下计算速度和加速度

费恩曼在他的《物理学讲义（第1卷）》第8章，以“速率作为导数，距离作为积分”为核心详解了运动学。他的耐心给我们教师留下了深刻的印象，即在物理环境中先导性地引入微积分，平均速度取极限而定义瞬间速度，强调微分和积分是一对互逆运算。费恩曼心存遗憾的是，在他的三卷物理学讲义中没有例题和习题这一环节，但希望教师精心设计例题，起到熟练运用知识的目的。

【例2-1】离水面高度为h的岸上有人用绳子拉船靠岸。人以恒定速率v0拉绳，求当船离岸的距离为xd时，船的速度和加速度（图2-5（a））。

正像写一篇科研论文那样，摘要和引言的第一句话经常要具有概括性。就本题而言，将小船视为一个质点，它的运动轨迹沿水面为一直线，速度方向为轨迹的切线。

如果初学者不假思索，会将人拉绳的速度向水平和竖直方向投影，那么得出小船速度等于v0cos θ，这是最容易想到的方法，但却是错误的。运动的合成是唯一的，而正交分解却是多样化的。若某个自由度（广义坐标）的变化趋势是运动许可的，则该自由度就存在对应的速度分量。在笛卡儿坐标系中，垂直于水面方向的运动是禁止的。而若选用极坐标系，则角速度θ˙与时间之瞬∆t的乘积，代表拉小船运动的绳子与水平方向夹角的增加量，这是允许的。

下面给出求解这一问题的几种方法及其分析。

解法一 速度定义法。根据质点瞬时速度是它平均速度取极限的定义，也就是牛顿所说的趋于零的量的最终比，有

式中，x（t）是小船在时刻t到岸的距离，绳长改变量∆l=l（t+∆t）-l（t）<0。上式利用了直角三角形的几何关系（图2-5（b）），在很短时间间隔内，绳子绕岸上端点转过的角度很小，由t+∆t时刻船位置处向t时刻绳子所作等腰三角形的底边（长度为∆s），其与后者垂直。小船的加速度也可用定义法求得，但需与解法四中的角速度相结合。

解法二 笛卡儿坐标法。本题的用意是希望初学者用求导来计算小船的速度和加速度。现以水岸处为坐标原点，建立平面直角坐标系（x, y），质点的位置坐标，故

解法三 自然坐标法。对于平面曲线运动，质点与某一参考点的弧长作为确定它位置的变量，质点速度恒沿曲线的切线方向，而加速度矢量可以分解为切线和法线两个垂直方向，前者是由于质点速度大小变化引起的，后者是由于速度方向变化所产生的加速度，即中学生就知道的“向心”加速度。费恩曼在《物理学讲义（第1卷）》中，虽然没有提及这个坐标系，但是他对牛顿定律的矢量表示法的说明中，提到了速度矢量的变化率∆v/∆t=∆v///∆t+∆v⊥/∆t，前者是切线分量，后者是法线分量。并且提醒读者注意，不同时间的速度矢量之差，要把尾端画在一起。

在这个方案中，将质点的速度明确地表示为沿轨迹的切线方向，不能再往其他方向分解。就一维问题而言，它与笛卡儿坐标类似，不同之处在于原点取在质点初始位置处，以及描写质点位置的自由度不是坐标而是曲线弧长，两者位移的瞬是一致的。小船的速度和加速度矢量写作v =vtet和a=atet+anen，这里，由于直线的曲率半径ρ为无穷大，则法向加速度an=v2/ρ=0。计算结果同解法二。

解法四 极坐标法。在《费恩曼物理学讲义（第1卷）》中，有质点在笛卡儿和自然坐标下的速度和加速度表示，但没有极坐标的内容。费恩曼在讲解角动量时，巧妙地引入了对参考点的“动量臂”的概念，这相当于极坐标中，作用力在径向的投影对角动量无贡献，而在角向的力分量乘以动量臂就是角动量的值。反思一下我们目前的普物力学，运动的描写和三种坐标系占用了较多学时，而流体力学和波动等有用的内容却无法深入讲解。

现选岸上端点为坐标原点，水平方向为极轴，顺时针旋转的极角为正，如图2-6。在平面极坐标系（r, θ）下，小船的速度和加速度矢量分别为

已知条件是和。求角速度需借助几何关系（注意dr=dl<0, dθ>0, ds>0，见图2-5（b）），也就是

从而

由于|vθ/vr|=|aθ/ar|=tan θ=h/xd，故知小船速度和加速度方向均沿水面向左，且（2.3.8）式和（2.3.9）式的绝对值与解法二相同。

以上结果表明：虽然质点速度矢量的投影存在真实运动的束缚，但是它可以正交分解到广义坐标之上。至此，解答看似圆满了，假若把这道题目交给费恩曼先生，他一定会指出本题的破绽，马上会说：人在岸上匀速拉水中的小船，这件事情不可能发生。那么，我们不得不考虑小船运动的合理性，速度和加速度的符号相同，表明小船作变加速运动，它抵达岸边时的速度为无穷大。所以，人拉绳的速度应控制为逐渐减慢，使得小船渐近静止地靠岸。当（2.3.2）式分母趋于零时，分子亦应较快地趋于零，可用洛比达法则确定00型的极限值。假如将人拉绳速度换成dl/dt=-v0（1-h/l），那么当xd=0（l=h）时，vx=0。

·注意到三卷《费恩曼物理学讲义》是面向本科生的基础物理，其有别于朗道的面向研究生的十卷《理论物理学教程》（统计物理分成了两卷，从“卷”的定义上来看一些书说九卷是不妥的）。费恩曼将电磁学与电动力学、量子物理和量子力学打通了，但并没有将力学与理论力学、热学和热力学与统计力学贯通起来。然而，我国目前的《力学》教材吸收了许多《理论力学》的内容，难度超过了《费恩曼物理学讲义（第1卷）》，不过缺失了基础物理的味道。