第一部分　章节习题及详解

第一章　高等数学

第一节　空间解析几何

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1设α、β均为非零向量，则下面结论正确的是（　　）。[2017年真题]

A．α×β＝0是α与β垂直的充要条件

B．α·β＝0是α与β平行的充要条件

C．α×β＝0是α与β平行的充要条件

D．若α＝λβ（λ是常数），则α·β＝0

【答案】C

【解析】AC两项，α×β＝0是α与β平行的充要条件。B项，α·β＝0是α与β垂直的充要条件。D项，若α＝λβ（λ是常数），则α与β相互平行，则有α×β＝0。

2设向量α与向量β的夹角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，则模|α＋β|等于（　　）。[2018年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】计算得：

3若向量α，β满足|α|＝2，|β|＝，且α·β＝2，则|α×β|等于（　　）。[2016年真题]

A．2

B．

C．

D．不能确定

【答案】A

【解析】设两向量α，β的夹角为θ，根据α·β＝2，解得：

故

|α×β|＝|α||β|sinθ＝2。

4已知向量α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），则|α×β|等于（　　）。[2013年真题]

A．0

B．6

C．

D．14i＋16j－10k

【答案】C

【解析】因为

所以

5过点（1，－2，3）且平行于z轴的直线的对称式方程是（　　）。[2017年真题]

A．

B．（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1

C．z＝3

D．（x＋1）/0＝（y－2）/0＝（z＋3）/1

【答案】B

【解析】由题意可得此直线的方向向量为（0，0，1），又过点（1，－2，3），所以该直线的对称式方程为（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1。

6设直线方程为

则该直线（　　）。[2010年真题]

A．过点（－1，2，－3），方向向量为i＋2j－3k

B．过点（－1，2，－3），方向向量为－i－2j＋3k

C．过点（1，2，－3），方向向量为i－2j＋3k

D．过点（1，－2，3），方向向量为－i－2j＋3k

【答案】D

【解析】把直线方程的参数形式改写成标准形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），则直线的方向向量为±（1，2，－3），过点（1，－2，3）。

7下列平面中，平行于且与yOz坐标面非重合的平面方程是（　　）。[2018年真题]

A．y＋z＋1＝0

B．z＋1＝0

C．y＋1＝0

D．x＋1＝0

【答案】D

【解析】D项，平面方程x＋1＝0化简为x＝－1，显然平行yOz坐标面，且不重合。ABC三项，均不平行于yOz坐标面。

8已知直线L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x＋2y＋z－1＝0，则（　　）。[2013年真题]

A．L与π垂直相交

B．L平行于π但L不在π上

C．L与π非垂直相交

D．L在π上

【答案】C

【解析】直线L的方向向量为±（3，－1，2），平面π的法向量为（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直线与平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直线与平面不平行。所以直线与平面非垂直相交。直线L与平面π的交点为（0，－1，3）。

9设直线L为

平面π为4x－2y＋z－2＝0，则直线和平面的关系是（　　）。[2012年真题]

A．L平行于π

B．L在π上

C．L垂直于π

D．L与π斜交

【答案】C

【解析】直线L的方向向量为：

即s＝（－28，14，－7）。平面π的法线向量为：n＝（4，－2，1）。由上可得，s、n坐标成比例，即（－28）/4＝14/（－2）＝（－7）/1，故s∥n，直线L垂直于平面π。

10设直线方程为x＝y－1＝z，平面方程为x－2y＋z＝0，则直线与平面（　　）。[2011年真题]

A．重合

B．平行不重合

C．垂直相交

D．相交不垂直

【答案】B

【解析】直线的方向向量s＝（1，1，1），平面的法向向量n＝（1，－2，1），s·n＝1－2＋1＝0，则这两个向量垂直，即直线与平面平行。又该直线上的点（0，1，0）不在平面上，故直线与平面不重合。

11yOz坐标面上的曲线

绕Oz轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是（　　）。[2016年真题]

A．x²＋y²＋z＝1

B．x²＋y²＋z²＝1

C．

D．

【答案】A

【解析】一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面为旋转曲面。若yOz平面上的曲线方程为f（y，z）＝0，将此曲线绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面方程为：

又

故x²＋y²＋z＝1。同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：

12在空间直角坐标系中，方程x²＋y²－z＝0表示的图形是（　　）。[2014年真题]

A．圆锥面

B．圆柱面

C．球面

D．旋转抛物面

【答案】D

【解析】在平面直角坐标系中，z＝x²为关于z轴对称的抛物线。因此可考虑将该抛物线绕Oz轴旋转一周所形成的曲面方程：

代入z＝x²得

即x²＋y²－z＝0。因此方程x²＋y²－z＝0表示的图形为在面xOz内的抛物线z＝x²绕z轴旋转得到的图形，即旋转抛物面。

13方程x²－y²/4＋z²＝1，表示（　　）。[2012年真题]

A．旋转双曲面

B．双叶双曲面

C．双曲柱面

D．锥面

【答案】A

【解析】方程x²－y²/4＋z²＝1，即x²＋z²－y²/4＝1，可由xOy平面上双曲线

绕y轴旋转得到，或可由yOz平面上双曲线

绕y轴旋转得到。即该方程表示旋转双曲面。

14在三维空间中方程y²－z²＝1所代表的图形是（　　）。[2011年真题]

A．母线平行x轴的双曲柱面

B．母线平行y轴的双曲柱面

C．母线平行z轴的双曲柱面

D．双曲线

【答案】A

【解析】由于

表示在x＝0的平面上的双曲线，故三维空间中方程y²－z²＝1表示双曲柱面，x取值为﹙－∞，＋∞﹚，即为母线平行x轴的双曲柱面。

15设有直线L₁：（x－1）/1＝（y－3）/（－2）＝（z＋5）/1与L₂：

则L₁与L₂的夹角θ等于（　　）。[2014年真题]

A．π/2

B．π/3

C．π/4

D．π/6

【答案】B

【解析】由题意可知n(→)₁＝（m₁，n₁，p₁）＝（1，－2，1）

将L₂的参数形式改为标准形式：（x－3）/（－1）＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2

所以n(→)₂＝（m₂，n₂，p₂）＝（－1，－1，2）

所以L₁与L₂的夹角θ＝π/3。

16曲线x²＋4y²＋z²＝4与平面x＋z＝a的交线在yOz平面上的投影方程是（　　）。[2012年真题]

A．

B．

C．

D．（a－z）²＋4y²＋z²＝4

【答案】A

【解析】在yOz平面上投影方程必有x＝0，排除B项。令方程组为：

由式②得：x＝a－z。将上式代入式①得：（a－z）²＋4y²＋z²＝4，则曲线在yOz平面上投影方程为：

17设α、β、γ都是非零向量，若α×β＝α×γ，则（　　）。

A．β＝γ

B．α∥β且α∥γ

C．α∥（β－γ）

D．α⊥（β－γ）

【答案】C

【解析】根据题意可得，α×β－α×γ＝α×（β－γ）＝0，故α∥（β－γ）。

18已知a、b均为非零向量，而|a＋b|＝|a－b|，则（　　）。

A．a－b＝0

B．a＋b＝0

C．a·b＝0

D．a×b＝0

【答案】C

【解析】由a≠0，b≠0及|a＋b|＝|a－b|知，（a＋b）·（a＋b）＝（a－b）·（a－b）。即a·b＝－a·b，所以a·b＝0。

19设三向量a，b，c满足关系式a·b＝a·c，则（　　）。

A．必有a＝0或b＝c

B．必有a＝b－c＝0

C．当a≠0时必有b＝c

D．a与（b－c）均不为0时必有a⊥（b－c）

【答案】D

【解析】因a·b＝a·c⇒a·（b－c）＝0⇒a＝0或b－c＝0或a⊥（b－c）当a与（b－c）均不为0时有a⊥（b－c）。

20设向量x垂直于向量a＝（2，3，－1）和b＝（1，－2，3），且与c＝（2，－1，1）的数量积为－6，则向量x＝（　　）。

A．（－3，3，3）

B．（－3，1，1）

C．（0，6，0）

D．（0，3，－3）

【答案】A

【解析】由题意可得，x∥a×b，而

所以x＝（x，－x，－x）。再由－6＝x·c＝（x，－x，－x）·（2，－1，1）＝2x，得x＝－3，所以x＝（－3，3，3）。

21直线L₁：

与L₂：

之间的关系是（　　）。

A．L₁∥L₂

B．L₁，L₂相交但不垂直

C．L₁⊥L₂但不相交

D．L₁，L₂是异面直线

【答案】A

【解析】直线L₁与L₂的方向向量分别为：

又3/（－9）＝1/（－3）＝5/（－15），故l₁∥l₂，即L₁∥L₂。

22已知直线方程

中所有系数都不等于0，且A₁/D₁＝A₂/D₂，则该直线（　　）。

A．平行于x轴

B．与x轴相交

C．通过原点

D．与x轴重合

【答案】B

【解析】因A₁/D₁＝A₂/D₂，故在原直线的方程中可消去x及D，故得原直线在yOz平面上的投影直线方程为

在yOz平面上的投影过原点（将原点坐标（0，0，0）代入直线方程），故原直线必与x轴相交。又因D₁，D₂≠0，将（0，0，0）代入直线方程可知直线不过原点。

23已知直线L₁过点M₁（0，0，－1）且平行于x轴，L₂过点M₂（0，0，1）且垂直于xOz平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为（　　）。

A．x²＋y²＝4z

B．x²－y²＝2z

C．x²－y²＝z

D．x²－y²＝4z

【答案】D

【解析】两直线的方程为：L₁：x/1＝y/0＝（z＋1）/0，L₂：x/0＝y/1＝（z－1）/0。设动点为M（x，y，z），则由点到直线的距离的公式知：

（其中l_i是直线L_i的方向向量，M_i是直线L_i上的一点），所以：

由d₁＝d₂得：d₁²＝d₂²，故（z＋1）²＋y²＝（z－1）²＋x²，即x²－y²＝4z。

24在平面x＋y＋z－2＝0和平面x＋2y－z－1＝0的交线上有一点M，它与平面x＋2y＋z＋1＝0和x＋2y＋z－3＝0等距离，则M点的坐标为（　　）。

A．（2，0，0）

B．（0，0，－1）

C．（3，－1，0）

D．（0，1，1）

【答案】C

【解析】A项，点（2，0，0）不在平面x＋2y－z－1＝0上；B项，点（0，0，－1）不在平面x＋y＋z－2＝0上；D项，点（0，1，1）与两平面不等距离。

25设平面α平行于两直线x/2＝y/（－2）＝z及2x＝y＝z，且与曲面z＝x²＋y²＋1相切，则α的方程为（　　）。

A．4x＋2y－z＝0

B．4x－2y＋z＋3＝0

C．16x＋8y－16z＋11＝0

D．16x－8y＋8z－1＝0

【答案】C

【解析】由平面α平行于两已知直线可得，平面α的法向量为：n＝（2，－2，1）×（1，2，2）＝－3（2，1，－2）。设切点为（x₀，y₀，z₀），则切点处曲面的法向量为（2x₀，2y₀，－1），故2/（2x₀）＝1/（2y₀）＝（－2）/（－1），由此解得x₀＝1/2，y₀＝1/4，从而z₀＝x₀²＋y₀²＋1＝21/16，因此α的方程为：2（x－1/2）＋（y－1/4）－2（z－21/16）＝0，即16x＋8y－16z＋11＝0。

26三个平面x＝cy＋bz，y＝az＋cx，z＝bx＋ay过同一直线的充要条件是（　　）。

A．a＋b＋c＋2abc＝0

B．a＋b＋c＋2abc＝1

C．a²＋b²＋c²＋2abc＝0

D．a²＋b²＋c²＋2abc＝1

【答案】D

【解析】由于三个平面过同一直线，线性齐次方程组

有无穷解，即行列式

解得a²＋b²＋c²＋2abc＝1。

27通过直线

和直线

的平面方程为（　　）。

A．x－z－2＝0

B．x＋z＝0

C．x－2y＋z＝0

D．x＋y＋z＝1

【答案】A

【解析】化直线的参数方程为标准方程得：（x＋1）/2＝（y－2）/3＝（z＋3）/2，（x－3）/2＝（y＋1）/3＝（z－1）/2，因点（－1，2，－3）不在平面x＋z＝0上，故可排除B项；因点（3，－1，1）不在x－2y＋z＝0和x＋y＋z＝1这两个平面上，故可排除CD两项，选A项。由于题目所给两条直线的方向向量相同，故为两条平行直线，且已知两个点分别为（－1，2，－3）和（3，－1，1），过这两个已知点的直线方程的方向向量为：（4，－3，4），故可求得通过这三条直线（两条平行线和一条与平行线相交的直线）平面的法向量为：

故平面方程为18x－18z＋D＝0，代入点（－1，2，－3）解得：D＝－36，故平面方程为x－z－2＝0。

28过点（－1，2，3）垂直于直线x/4＝y/5＝z/6且平行于平面7x＋8y＋9z＋10＝0的直线是（　　）。

A．（x＋1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

B．（x＋1）/1＝（y－2）/2＝（z－3）/2

C．（x＋1）/（－1）＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

D．（x－1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

【答案】A

【解析】直线x/4＝y/5＝z/6的方向向量为s＝4，5，6，平面7x＋8y＋9z＋10＝0的法向量为n＝7，8，9。显然ABC三项中的直线均过点（－1，2，3）。A项中直线的方向向量为s₁＝（1，－2，1），有s₁⊥s，s₁⊥n，可见A中直线与已知直线x/4＝y/5＝z/6垂直，与平面7x＋8y＋9z＋10＝0平行。

29若直线（x－1）/1＝（y＋1）/2＝（z－1）/λ与（x＋1）/1＝（y－1）/1＝z/1相交，则必有（　　）。

A．λ＝1

B．λ＝3/2

C．λ＝－4/5

D．λ＝5/4

【答案】D

【解析】如果两直线相交，则这两条直线的方向向量与这两条直线上两点连线构成的向量应在同一平面上，由此来确定λ。点A（1，－1，1），B（－1，1，0）分别为两条直线上的一点，则