第二节　运动学

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1质量为m的物体M在地面附近自由降落，它所受的空气阻力的大小为F_R＝Kv²，其中K为阻力系数，v为物体速度，该物体所能达到的最大速度为（　　）。[2016年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】在降落过程中，物体首先做加速度逐渐减小的加速运动；当空气阻力等于重力时，加速度为零，之后开始做匀速直线运动。故空气阻力等于重力时，速度即为最大速度：mg＝Kv²，解得：

2点的运动由关系式S＝t⁴−3t³＋2t²−8决定（S以m计，t以s计），则t＝2s时的速度和加速度为（　　）。[2018年真题]

A．−4m/s，16m/s²

B．4m/s，12m/s²

C．4m/s，16m/s²

D．4m/s，−16m/s²

【答案】C

【解析】速度v＝S′＝4t³−9t²＋4t，加速度a＝v′＝12t²−18t＋4。当t＝2s时，v＝4×2³−9×2²＋4×2＝4m/s；a＝12×2²−18×2＋4＝16m/s²。

3点沿直线运动，其速度v＝20t＋5。已知：当t＝0时，x＝5m。则点的运动方程为（　　）。[2017年真题]

A．x＝10t²＋5t＋5

B．x＝20t＋5

C．x＝10t²＋5t

D．x＝20t²＋5t＋5

【答案】A

【解析】将v＝20t＋5两边对t进行积分，得：x＝10t²＋5t＋C。代入初始条件，当t＝0时，x＝5m，求得C＝5。则点的运动方程为：x＝10t²＋5t＋5。

4动点A和B在同一坐标系中的运动方程分别为

其中x、y以cm计，t以s计，则两点相遇的时刻为（　　）。[2014年真题]

A．t＝1s

B．t＝0.5s

C．t＝2s

D．t＝1.5s

【答案】A

【解析】相遇时有x_A＝x_B，y_A＝y_B，联立方程组，解得t＝1s。所以A、B两点在t＝1s时相遇。

5已知动点的运动方程为x＝t，y＝2t²，则其轨迹方程为（　　）。[2013年真题]

A．x＝t²－t

B．y＝2t

C．y－2x²＝0

D．y＋2x²＝0

【答案】C

【解析】将x＝t代入y＝2t²，可得轨迹方程为：y－2x²＝0。

6当点运动时，若位置矢大小保持不变，方向可变，则其运动轨迹为（　　）。[2011年真题]

A．直线

B．圆周

C．任意曲线

D．不能确定

【答案】B

【解析】若位置矢大小保持不变、方向可变，则点到原点距离为常数，只可能做圆周运动。

7质点以匀速度15m/s绕直径为10m的圆周运动，则其法向加速度为（　　）。[2018年真题]

A．22.5m/s²

B．45m/s²

C．0

D．75m/s²

【答案】B

【解析】法向加速度a＝v²/r＝2v²/d＝（2×15²）/10m/s²＝45m/s²。

8杆OA绕固定轴O转动，长为l，某瞬时杆端A点的加速度a如图4-2-1所示。则该瞬时OA的角速度及角加速度为（　　）。[2017年真题]

图4-2-1

A．0，a/l

B．，asinα/l

C．，0

D．0，

【答案】C

【解析】由图4-2-1可知：A点的法向加速度为：a_n＝ω²r。其中r为定轴转动的半径，ω为角速度。题中a_n＝a·cos90°＝a，r＝l，故角速度为：

A点的切向加速度为：a_τ＝dv/dt＝d（rω）/dt＝rα。式中，r为定轴转动的半径，α为角加速度。题中a_τ＝a·sin90°＝0，故角加速度：α＝0。

9一定轴转动刚体，其运动方程为φ＝a－bt²/2，其中a、b均为常数，则知该刚体作（　　）。

A．匀加速转动

B．匀减速转动

C．匀速转动

D．减速转动

【答案】A

【解析】角速度ω＝φ′＝－bt，角加速度α＝φ′′＝－b，角加速度与角速度方向一致，故该刚体做匀加速转动。

10四连杆机构如图4-2-2所示，已知曲柄O₁A长为r，且O₁A＝O₂B，O₁O₂＝AB＝2b，角速度为ω、角加速度为α，则杆AB的中点M的速度、法向和切向加速度的大小分别为（　　）。[2018年真题]

图4-2-2

A．v_M＝bω；a_Mⁿ＝bω²；a_M^t＝bα

B．v_M＝bω；a_Mⁿ＝rω²；a_M^t＝rα

C．v_M＝rω；a_Mⁿ＝rω²；a_M^t＝rα

D．v_M＝rω；a_Mⁿ＝bω²；a_M^t＝bα

【答案】C

【解析】由图易知A、B运动状态完全相同，且O₁O₂＝AB，因此AB杆内每一点的运动状态与A、B相同，M可看成是绕O₁O₂中点的圆周运动，故v_M＝rω，a_Mⁿ＝rω²，a_M^t＝rα。

11杆OA绕固定轴O转动，长为l。某瞬时杆端A点的加速度a如图4-2-3所示，则该瞬时OA的角速度及角加速度为（　　）。[2009年真题]

图4-2-3

A．0；a/l

B．；asinα/l

C．；0

D．0；

【答案】B

【解析】点A的法向加速度为：a_n＝l·ω²＝a·cosα。求得：

令角加速度为β，则点A的切向加速度为：a_τ＝l·β＝asinα。求得：β＝asinα/l。

12一炮弹以初速度v₀和仰角α射出。对于图4-2-4所示直角坐标的运动方程为x＝v₀cosαt，y＝v₀sinαt－gt²/2，则当t＝0时，炮弹的速度和加速度的大小分别为（　　）。[2013年真题]

图4-2-4

A．v＝v₀cosα，a＝g

B．v＝v₀，a＝g

C．v＝v₀sinα，a＝－g

D．v＝v₀，a＝－g

【答案】B

【解析】t＝0为斜抛运动的初始时刻，此时炮弹的速度为初速度v₀，加速度大小为g，方向向下（g本身为矢量）。

13某瞬时若平面图形上各点的加速度方向都指向同一点，则可知此瞬时平面图形的角速度ω和角加速度α为（　　）。[2012年真题]

A．ω＝0，α≠0

B．ω≠0，α＝0

C．ω＝0，α＝0

D．ω≠0，α≠0

【答案】B

【解析】平面图形作匀速转动时，各点的加速度a方向均指向速度瞬心，由a_n＝a＝rω²得，ω≠0。由a_τ＝rα＝0得，α＝0。

14在图4-2-5所示机构中，杆O₁A＝O₂B，O₁A∥O₂B，杆O₂C＝O₃D，O₂C∥O₃D，且O₁A＝20cm，O₂C＝40cm，若杆AO₁以角速度ω＝3rad/s匀速转动，则CD杆上任意点M的速度及加速度大小为（　　）。[2011年真题]

A．60cm/s，180cm/s²

B．120cm/s，360cm/s²

C．90cm/s，270cm/s²

D．120cm/s，150cm/s²

图4-2-5

【答案】B

【解析】由题表述运动可知，C、D两点分别绕着O₂、O₃作圆周运动，速度v_C＝ω·r＝3×0.4＝1.2m/s，加速度为：a_C＝ω²·r＝3²×0.4m/s²＝3.6m/s²，又由于CD杆为平动。故v_M＝v_C＝1.2m/s＝120cm/s，a_M＝a_C＝3.6m/s²＝360cm/s²。

15动点以加速度2m/s²作直线运动，当速度由5m/s增加到8m/s时，则点运动的路程为（　　）。[2012年真题]

A．7.5m

B．12m

C．2.25m

D．9.75m

【答案】D

【解析】由速度计算公式v_t＝v₀＋at，解得：t＝（v_t－v₀）/a＝（8－5）/2＝1.5s。再由路程计算公式S＝v₀t＋at²/2，求得点运动的路程S＝5×1.5＋1/2×2×1.5²＝9.75m。或根据公式2aS＝v₂²－v₁²，解得：S＝（v₂²－v₁²）/（2a）＝（64－25）/（2×2）＝9.75m。

16质量为m的小物块在匀速转动的圆桌上，与转轴的距离为r，如图4-2-6所示。设物块与圆桌之间的摩擦系数为μ，为使物块与桌面之间不产生相对滑动，则物块的最大速度为（　　）。[2018年真题]

图4-2-6

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由摩擦力提供向心力，为使物块与桌面之间不产生相对滑动，需满足条件：

解得：

17一绳缠绕在半径为r的鼓轮上，绳端系一重物M，重物M以速度v和加速度a向下运动（如图4-2-7）。则绳上两点A、D和轮缘上两点B、C的加速度是（　　）。[2017年真题]

图4-2-7

A．A、B两点的加速度相同，C、D两点的加速度相同

B．A、B两点的加速度不相同，C、D两点的加速度不相同

C．A、B两点的加速度相同，C、D两点的加速度不相同

D．A、B两点的加速度不相同，C、D两点的加速度相同

【答案】D

【解析】A点竖直向下运动，没有角速度，其加速度为：a_A＝a。BCD三点绕点O作向心加速度运动，法向加速度α_n＝ω²r＝v²/r，切向加速度a_τ＝a，则加速度为：

因此，A、B两点的加速度不相同，C、D两点的加速度相同。

18点在具有直径为6m的轨道上运动，走过的距离是s＝3t²，则点在2s末的切向加速度为（　　）。

A．48m/s²

B．4m/s²

C．96m/s²

D．6m/s²

【答案】D

【解析】曲线运动时的法向加速度为：a_n＝v²/ρ，ρ为曲率半径。切向加速度为：a_τ＝dv/dt＝d²s/dt²＝6m/s²。

19在图4-2-8所示圆锥摆中，球M的质量为m，绳长l，若α角保持不变，则小球的法向加速度为（　　）。[2014年真题]

图4-2-8

A．gsinα

B．gcosα

C．gtanα

D．gcotα

【答案】C

【解析】在圆周运动中，向心力F＝ma＝mgtanα，故小球的法向加速度a＝gtanα。

20物体作定轴转动的运动方程为φ＝4t－3t²（φ以rad计，t以s计）。此物体内，转动半径r＝0.5m的一点，在t₀＝0时的速度和法向加速度的大小为（　　）。[2012年真题]

A．2m/s，8m/s²

B．3m/s，3m/s²

C．2m/s，8.54m/s²

D．0，8m/s²

【答案】A

【解析】物体转动的角速度为：ω＝dφ/dt＝4－6t，则当t₀＝0时，ω₀＝4（rad/s）。故所求点的速度v₀＝rω₀＝0.5×4＝2m/s，加速度a₀＝rω₀²＝0.5×4²＝8m/s²。

21两摩擦轮如图4-2-9所示，则两轮的角速度与半径关系的表达式为（　　）。[2013年真题]

图4-2-9

A．ω₁/ω₂＝R₁/R₂

B．ω₁/ω₂＝R₂/R₁²

C．ω₁/ω₂＝R₁/R₂²

D．ω₁/ω₂＝R₂/R₁

【答案】D

【解析】根据两轮切点处线速度相等，有R₁ω₁＝R₂ω₂，故ω₁/ω₂＝R₂/R₁。

22一木板放在两个半径r＝0.25m的传输鼓轮上面。在图4-2-10所示瞬时，木板具有不变的加速度a＝0.5m/s²，方向向右；同时，鼓轮边缘上的点具有一大小为3m/s²的全加速度。如果木板在鼓轮上无滑动，则此木板的速度为（　　）。[2012年真题]

图4-2-10

A．0.86m/s

B．3m/s

C．0.5m/s

D．1.67m/s

【答案】A

【解析】由于木板在鼓轮上无滑动，故此时木板的速度与其相切点的速度相同并且鼓轮边缘上点的切向加速度与木板加速度相同，即a_τ＝a＝0.5m/s²。又由于鼓轮全加速度为3m/s²，故而鼓轮法向加速度为：

又a_n＝v²/r，故此时木板的速度为：

23直角刚杆OAB在图4-2-11所示瞬时角速度ω＝2rad/s，角加速度ε＝5rad/s²，若OA＝40cm，AB＝30cm，则B点的速度大小、法向加速度的大小和切向加速度的大小为（　　）。[2010年真题]

图4-2-11

A．100cm/s；200cm/s²；250cm/s²

B．80cm/s；160cm/s²；200cm/s²

C．60cm/s；120cm/s²；150cm/s²

D．100cm/s；200cm/s²；200cm/s²

【答案】A

【解析】OB的长度是50cm，刚杆OAB的角速度ω＝2rad/s，故v_B＝ω×r＝2rad/s×50cm＝100cm/s，B点法向加速度a_n＝v²/r＝100²/50＝200cm/s²，切向加速度a_τ＝ε×r＝5rad/s²×50cm＝250cm/s²。

24刚体作平动时，某瞬时体内各点的速度与加速度为（　　）。[2014年真题]

A．体内各点速度不相同，加速度相同

B．体内各点速度相同，加速度不相同

C．体内各点速度相同，加速度也相同

D．体内各点速度不相同，加速度也不相同

【答案】C

【解析】刚体作平动时，某瞬时体内各点速度和加速度都相同，可以看作是一个点的运动。

25点沿轨迹已知的平面曲线运动时（见图4-2-12），其速度大小不变，加速度a应为（　　）。

图4-2-12

A．a_n＝a≠0，a_τ＝0（a_n：法向加速度，a_τ：切向加速度）

B．a_n＝0，a_τ＝a≠0

C．a_n≠0，a_τ≠0，a_τ＋a_n＝a

D．a＝0

【答案】A

【解析】切向加速度描述速度大小随时间变化的快慢，方向沿轨迹在该点的切线方向；法向加速度描述速度方向随时间变化的规律，方向与速度矢量垂直，指向曲率中心。由题意，速度大小不变则切向加速度a_τ＝0，而速度方向沿曲线变化，则a_n＝a≠0。

26如图4-2-13所示，刚性三角板ABD与机构的B、D点铰接，O₁O₂＝BD＝a，O₁B＝O₂D＝l，取a＝30cm，l＝20cm，AB＝15cm，已知O₁B杆的运动规律φ＝2（1＋t）rad，则A点速度的大小和方向为（　　）。

图4-2-13

A．v＝40cm/s，⊥O₁B，指向斜上

B．v＝40cm/s，⊥O₁B，指向斜下

C．v＝40cm/s，⊥AB，指向朝左

D．v＝40cm/s，⊥AB，指向朝右

【答案】A

【解析】根据题意，可得B点的角速度ω_B＝dφ/dt＝2rad/s，则B点的速度v_B＝ω_Bl＝40cm/s，由于角度φ是变大的，所以B点的速度方向为垂直于O₁B斜向上的。由于三角形ABD为平动刚体，点A的速度与点B的速度相同。因此，点A的速度为v_A＝40cm/s，方向垂直O₁B，指向斜上。