第五章　材料力学

第一节　拉伸与压缩

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1等截面杆，轴向受力如图5-1-1所示，则杆的最大轴力是（　　）。[2018年真题]

图5-1-1

A．8kN

B．5kN

C．3kN

D．13kN

【答案】B

【解析】画出杆件轴力图如图5-1-2所示，故杆件最大轴力为5kN。

图5-1-2

2等截面直杆，轴向受力如图5-1-3，杆的最大拉伸轴力是（　　）。[2016年真题]

图5-1-3

A．10kN

B．25kN

C．35kN

D．20kN

【答案】A

【解析】设拉力为正，压力为负，从右向左截面轴力依次为＋10kN，－25kN，－20kN，所以最大拉力为10kN。

3图5-1-4所示结构的两杆面积和材料相同，在铅直向下的力F作用下，下面正确的结论是（　　）。[2014年真题]

图5-1-4

A．C点位移向下偏左，1杆轴力不为零

B．C点位移向下偏左，1杆轴力为零

C．C点位移铅直向下，1杆轴力为零

D．C点位移向下偏右，1杆轴力不为零

【答案】A

【解析】在力F作用下，假设节点C铅直向下移动，此时杆1和杆2均产生变形。根据物理方程，杆1和杆2内部会产生轴力。取节点C为研究对象，根据节点C在水平方向的平衡可知，仅靠杆1的水平分量不足以使节点平衡，还需杆2向右的水平分量，如图5-1-5所示。因此，C点位移应该向下偏左。

图5-1-5

4图5-1-6所示结构的两杆面积和材料相同，在铅直力F作用下，拉伸正应力最先达到许用应力的杆是（　　）。[2013年真题]

图5-1-6

A．杆1

B．杆2

C．同时达到

D．不能确定

【答案】B

【解析】对C点进行受力分析：∑F_x＝0，F₂sin30°－F₁sin45°＝0；∑F_y＝0，F₁cos45°＋F₂cos30°－F＝0，得

F₂＞F₁。又两杆面积和材料相同，由正应力公式σ＝F_N/A可得σ₂＞σ₁，故杆2先达到许用应力。

5图5-1-7所示结构的两杆许用应力均为[σ]，杆1的面积为A，杆2的面积为2A，则该结构的许用载荷是（　　）。[2013年真题]

图5-1-7

A．[F]＝A[σ]

B．[F]＝2A[σ]

C．[F]＝3A[σ]

D．[F]＝4A[σ]

【答案】B

【解析】杆1和杆2的的轴力为：F₁＝F₂＝F/2，故F/2＝min{A[σ]；2A[σ]}。解得：[F]＝2A[σ]。

6圆截面杆ABC轴向受力如图5-1-8，已知BC杆的直径d＝100mm，AB杆的直径为2d，杆的最大的拉应力是（　　）。[2014、2011年真题]

图5-1-8

A．40MPa

B．30MPa

C．80MPa

D．120MPa

【答案】A

【解析】杆AB和杆BC的的轴力分别为F_AB＝300πkN，F_BC＝100πkN。根据F＝Aσ解得：σ_AB＝30MPa，σ_BC＝40MPa，各杆应力不变。故其最大拉应力经计算为BC杆截面处40MPa。

7截面面积为A的等截面直杆，受轴向拉力作用。杆件的原始材料为低碳钢，若将材料改为木材，其他条件不变，下列结论中正确的是（　　）。[2012年真题]

A．正应力增大，轴向变形增大

B．正应力减小，轴向变形减小

C．正应力不变，轴向变形增大

D．正应力减小，轴向变形不变

【答案】C

【解析】根据公式σ＝F_N/A，由于F_N和A都不变，故正应力不变。根据公式ΔL＝F_NL/EA，由于木材的弹性模量减小，故轴向变形ΔL增大。

8图5-1-9所示拉杆承受轴向拉力P的作用，设斜截面m—m的面积为A，则σ＝P/A为（　　）。[2008年真题]

图5-1-9

A．横截面上的正应力

B．斜截面上的正应力

C．斜截面上的应力

D．斜截面上的剪应力

【答案】C

【解析】横截面拉伸正应力：σ＝P/S，S为正截面面积；记斜截面m—m的法线与x轴夹角为α，则斜截面上的正应力和切应力为：

而P_α＝P/A为斜截面上的正应力和切应力的合力即斜截面上的应力。

9变截面杆AC受力如图5-1-10所示。已知材料弹性模量为E，杆BC段的截面积为A，杆AB段的截面积为2A，则杆C截面的轴向位移是（　　）。[2018年真题]

图5-1-10

A．FL/2EA

B．FL/EA

C．2FL/EA

D．3FL/EA

【答案】A

【解析】设C截面的位移向右为正，则Δ_C＝（FL/EA）－（FL/2EA）＝FL/2EA。

10图5-1-11所示等截面直杆，材料的抗压刚度为EA，杆中距离A端1.5L处横截面的轴向位移是（　　）。[2012年真题]

图5-1-11

A．4FL/EA

B．3FL/EA

C．2FL/EA

D．FL/EA

【答案】D

【解析】根据求轴力的直接法可得AB段轴力F_N1＝F，BC段轴力F_N2＝0，CD段轴力F_N3＝2F。分析可知所求横截面的轴向位移就等于AB段的伸长量ΔL＝FL/EA。

11如图5-1-12所示，已知拉杆横截面积A＝100mm²，弹性模量E＝200GPa，横向变形系数μ＝0.3，轴向拉力F＝20kN，拉杆的横向应变ε′是（　　）。[2017年真题]

图5-1-12

A．ε′＝0.3×10^－3

B．ε′＝－0.3×10^－3

C．ε′＝10^－3

D．ε′＝－10^－3

【答案】B

【解析】胡克定律是指：当应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比，即σ＝Eε，其中，E为材料的弹性模量。横向线应变ε′与纵向线应变ε之比的绝对值为一常数μ，且纵向线应变与横向线应变的正负号恒相反，此题中纵向线应变ε为拉应变（正号）。由胡克定律得：ε′＝－μσ/E＝－μF/（EA）＝（－0.3×20×10³）/（200×10⁹×100×10^－6）＝－0.3×10^－3。

12两拉杆的材料和所受拉力都相同，且均处在弹性范围内，若两杆长度相等，横截面面积A₁＞A₂，则（　　）。[2008年真题]

A．Δl₁＜Δl₂；ε₁＝ε₂

B．Δl₁＝Δl₂；ε₁＜ε₂

C．Δl₁＜Δl₂；ε₁＜ε₂

D．Δl₁＝Δl₂；ε₁＝ε₂

【答案】C

【解析】根据胡克定律，纵向变形Δl＝Nl/EA，纵向线应变ε＝Δl/l＝N/EA。在比例极限内，杆的纵向变形Δl和线应变ε与面积A成反比，故Δl₁＜Δl₂，ε₁＜ε₂。

13等直杆的受力情况如图5-1-13所示，则杆内最大轴力N_max和最小轴力N_min分别为（　　）。[2007年真题]

图5-1-13

A．N_max＝60kN；N_min＝15kN

B．N_max＝60kN；N_min＝15kN

C．N_max＝30kN；N_min＝－30kN

D．N_max＝90kN；N_min＝－60kN

【答案】C

【解析】作直杆的轴力图，如图5-1-14所示，则N_max＝30kN，N_min＝－30kN。

图5-1-14

14横截面面积为A的等截面直杆受力F作用发生轴向拉伸变形，其30°斜截面上的正应力和切应力分别为（　　）。

A．；3F/4A

B．F/2A；

C．；F/2A

D．3F/4A；

【答案】D

【解析】横截面上的正应力为：σ₀＝F/A；30°斜截面正应力σ_30°＝σ₀cos²30°＝3F/4A，切应力

15如图5-1-15所示结构中，杆①、②、③的轴力分别为：N₁、N₂、N₃，轴向线应变分别为：ε₁、ε₂、ε₃。已知三根水平杆的EA相同，忽略梁AB的变形，则三杆轴力及线应变的关系为（　　）。

图5-1-15

A．N₁＝N₂＝N₃，ε₁＜ε₂＜ε₃

B．N₁＜N₂＜N₃，ε₁＜ε₂＜ε₃

C．N₁＝N₂＝N₃，ε₁＝ε₂＝ε₃

D．N₁＜N₂＜N₃，ε₁＝ε₂＝ε₃

【答案】C

【解析】根据物理方程：

Δl₁＝（N₁·l）/EA，Δl₂＝（N₂·2l）/EA，Δl₃＝（N₃·3l）/EA

因此

Δl₁∶Δl₂∶Δl₃＝N₁∶N₂∶N₃

再根据三角形相似，可得几何变形协调条件为：

Δl₁∶Δl₂∶Δl₃＝1∶2∶3

因此，N₁＝N₂＝N₃。据胡克定律ε＝σ/E＝N/（EA），可得：ε₁＝ε₂＝ε₃。

16两根拉杆受轴向力作用如图5-1-16所示。已知两杆的横截面面积A和杆长L之间的关系为：A₁/A₂＝1/2，L₁/L₂＝1/2，则杆的伸长量ΔL和纵向线应变ε之间的关系为（　　）。

图5-1-16

A．ΔL₁/ΔL₂＝1，ε₁/ε₂＝1/2

B．ΔL₁/ΔL₂＝1/2，ε₁/ε₂＝1/2

C．ΔL₁/ΔL₂＝1/2，ε₁/ε₂＝1

D．ΔL₁/ΔL₂＝2，ε₁/ε₂＝1

【答案】C

【解析】两杆的伸长量分别为：ΔL₁＝PL₁/EA₁，ΔL₂＝2PL₂/EA₂＝4PL₁/2EA₁＝2PL₁/EA₁，故ΔL₁/ΔL₂＝1/2。两杆的线应变分别为ε₁＝ΔL₁/L₁＝P/（EA₁），ε₂＝ΔL₂/L₂＝P/（EA₁），故ε₁/ε₂＝1。