第三节　积分学

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1设函数

则f′（1）等于（　　）。[2017年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由

得

求导得：

即有

注：若f（x）在[a，b]上连续，且g（x）可导，则

2若∫f（x）dx＝F（x）＋C，则∫xf（1－x²）dx＝（　　）。[2018年真题]

A．F（1－x²）＋C

B．（－1/2）F（1－x²）＋C

C．（1/2）F（1－x²）＋C

D．（－1/2）F（x）＋C

【答案】B

【解析】计算得∫xf（1－x²）dx＝（－1/2）∫f（1－x²）d（1－x²）＝（－1/2）F（1－x²）＋C，这里C均表示常数。

3∫f（x）dx＝lnx＋C，则∫cosxf（cosx）dx等于（　　）。[2017年真题]

A．cosx＋C

B．x＋C

C．sinx＋C

D．ln（cosx）＋C

【答案】B

【解析】由∫f（x）dx＝lnx＋C，可得f（x）＝1/x，则∫cosxf（cosx）dx＝∫cosx（1/cosx）dx＝x＋C。

4已知φ（x）可导，则等于（　　）。[2018年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由题意，计算得

【说明】如果φ（x）、Ψ（x）可导，则：

①

②

5等于（　　）。[2014年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】若f（x）在[a，b]上连续，且u＝g（x）可导，则：

所以

6f′（x）连续，则∫f′（2x＋1）dx等于（　　）。[2012年真题]

A．f（2x＋1）＋C

B．（1/2）f（2x＋1）＋C

C．2f（2x＋1）＋C

D．f（x）＋C

【答案】B

【解析】∫f′（2x＋1）dx＝（1/2）∫f′（2x＋1）d（2x＋1）＝（1/2）f（2x＋1）＋C。

7若

则常数A等于（　　）。[2016年真题]

A．1/π

B．2/π

C．π/2

D．π

【答案】A

【解析】反常积分上下限均为无穷，在0处分开求，即：

解得：A＝1/π。

8定积分等于（　　）。[2017年真题]

A．0

B．－1

C．1

D．2

【答案】C

【解析】换元法，令t＝1/x得

代入已知定积分得，原式为

C为常数。

9定积分等于（　　）。[2012年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

10若sec²x是f（x）的一个原函数，则∫xf（x）dx等于（　　）。[2016年真题]

A．tanx＋C

B．xtanx－ln|cosx|＋C

C．xsec²x＋tanx＋C

D．xsec²x－tanx＋C

【答案】D

【解析】由于sec²x是f（x）的一个原函数，令F（x）＝sec²x＋C，则：∫xf（x）dx＝∫xd[F（x）]＝xF（x）－∫F（x）dx＝xsec²x＋Cx－（tanx＋Cx－C）＝xsec²x－tanx＋C。

11下列广义积分中发散的是（　　）。[2013年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

故C项积分发散。

12若正方形区域D：|x|≤1，|y|≤1，则二重积分等于（　　）。[2018年真题]

A．4

B．8/3

C．2

D．2/3

【答案】B

【解析】根据积分区域及被积函数x²＋y²，利用积分对称性，得

13若圆域D：x²＋y²≤1，则二重积分等于（　　）。[2017年真题]

A．π/2

B．π

C．2πln2

D．πln2

【答案】D

【解析】将此二重积分在极坐标下进行积分可得

14二次积分交换积分次序后的二次积分是（　　）。[2013年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据原积分上下限，积分区域为曲线y＝x²和直线y＝x包围的区域，交换积分次序后，y范围应为0～1，x范围应为，故D项正确。

15若D是由y＝x，x＝1，y＝0所围成的三角形区域，则二重积分在极坐标下的二次积分是（　　）。[2012年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】画出区域D的图形，在极坐标下，区域D可表为：0≤θ≤π/4，0≤r≤1/cosθ。变量可表示为：x＝rcosθ，y＝rsinθ，dxdy＝rdrdθ。故

16设L是从点A（0，1）到点B（1，0）的直线段，则对弧长的曲线积分∫_Lcos（x＋y）ds等于（　　）。[2018年真题]

A．cos1

B．2cos1

C．

D．

【答案】C

【解析】L是连接AB两点的直线，则直线的方程为：y＝1－x（0≤x≤1），则

【总结】如果曲线弧L由方程y＝φ（x）（x₀＜x＜x₁）给出，则

17设L是椭圆周

的上半椭圆周，取顺时针方向，则曲线积分∫_Ly²dx等于（　　）。[2017年真题]

A．5ab²/3

B．4ab²/3

C．2ab²/3

D．ab²/3

【答案】B

【解析】由题意可得：x²/a²＋y²/b²＝1，即y²＝b²－（b²/a²）x²，则有：

18设L为从点A（0，－2）到点B（2，0）的有向直线段，则对坐标的曲线积分等于（　　）。[2014年真题]

A．1

B．－1

C．3

D．－3

【答案】B

【解析】AB直线的方程为：y＝x－2，曲线积分化成x的积分为：

19设L是连接点A（1，0）及点B（0，－1）的直线段，则对弧长的曲线积分∫_L（y－x）ds等于（　　）。[2013年真题]

A．－1

B．1

C．

D．

【答案】D

【解析】直线L的方程为：y＝x－1，则

20设L为连接（0，2）和（1，0）的直线段，则对弧长的曲线积分∫_L（x²＋y²）ds＝（　　）。[2011年真题]

A．

B．2

C．

D．

【答案】D

【解析】直线L方程为：y＝－2x＋2，故：

21抛物线y²＝4x与直线x＝3所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积是（　　）。[2014年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据定积分的运用，抛物线y²＝4x与直线x＝3所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积为：

22曲线y＝（sinx）^3/2（0≤x≤π）与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积等于（　　）。[2012年真题]

A．4/3

B．4π/3

C．2π/3

D．2π²/3

【答案】B

【解析】旋转体体积为：

23若D是由x＝0，y＝0，x²＋y²＝1所围成在第一象限的区域，则二重积分等于（　　）。[2016年真题]

A．－1/15

B．1/15

C．－1/12

D．1/12

【答案】B

【解析】采用极坐标法求二重积分，具体计算如下：

24设D是由y＝x，y＝0及

所围成的第一象限区域，则二重积分等于（　　）。[2014年真题]

A．πa²/8

B．πa²/4

C．3πa²/8

D．πa²/2

【答案】A

【解析】直线y＝x，y＝0及曲线

所围成的是一个处于第一象限内的以a为半径的1/8的圆的区域，而二重积分表示上述区域的面积，所以二重积分

25由曲线y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）所围成的平面图形的面积等于（　　）。[2018年真题]

A．lnb－lna

B．b－a

C．e^b－e^a

D．e^b＋e^a

【答案】B

【解析】由y＝lnx得，x＝e^y。由题意，得围成的平面图形的面积

26圆周ρ＝cosθ，ρ＝2cosθ及射线θ＝0，θ＝π/4所围的图形的面积S等于（　　）。[2010年真题]

A．3（π＋2）/8

B．（π＋2）/16

C．3（π＋2）/16

D．7π/8

【答案】C

【解析】根据积分区域可得

27设L是抛物线y＝x²上从点A（1，1）到点O（0，0）的有向弧线，则对坐标的曲线积分∫_Lxdx＋ydy等于（　　）。[2016年真题]

A．0

B．1

C．－1

D．2

【答案】C

【解析】选择x的积分路线，有：

28不定积分等于（　　）。[2014年真题]

A．（1/4）（1＋x³）^4/3＋C

B．（1＋x³）^1/3＋C

C．（3/2）（1＋x³）^2/3＋C

D．（1/2）（1＋x³）^2/3＋C

【答案】D

【解析】原式等于

29（　　）。[2011年真题]

A．

B．

C．tan（1＋x）

D．（1/2）arctanx＋C

【答案】B

【解析】因为

故

30若f（x）的一个原函数是lnx/x，则∫xf′（x）dx＝（　　）。

A．lnx/x＋C

B．（1＋lnx）/x＋C

C．1/x＋C

D．（1－2lnx）/x＋C

【答案】D

【解析】由f（x）＝（lnx/x）′＝（1－lnx）/x²，则：

∫xf′（x）dx＝∫xdf（x）＝xf（x）－∫df（x）＝x（1－lnx）/x²－lnx/x＋C＝（1－2lnx）/x＋C

31广义积分

则c等于（　　）。

A．π

B．

C．

D．－2/π

【答案】C

【解析】根据题意

因此，

32下列广义积分中发散的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】A项，

发散。

B项，

收敛。

C项，

代入已知定积分，

收敛。

D项，

收敛。

33设D是xOy平面上以（1，1）、（－1，1）和（－1，－1）为顶点的三角形区域，D₁是D在第一象限的部分，则等于（　　）。

A．

B．

C．

D．0

【答案】A

【解析】三角形D可进一步分割为两个分别关于x轴和y轴对称的三角形，从而根据被积函数关于x或y的奇偶性即可得出结论。设D′是xOy平面上以（0，0），（1，1），（－1，1）为顶点的三角形区域，D″是xOy平面上以（0，0），（－1，1），（－1，－1）为顶点的三角形区域，则D′关于y轴对称，D″关于x轴对称。

于是

由于xy关于x和y均为奇函数，因此

而

故

34设函数f（u）连续，区域D＝{（x，y）|x²＋y²≤2y}，则等于（　　）。

图1-3-1

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】先画出积分区域的示意图，再选择直角坐标系和极坐标系，并在两种坐标系下化为累次积分，即得正确选项。积分区域（见图1-3-1），在直角坐标系下

因为不确定被积函数的奇偶性，故不能用对称条件，B项错误。

在极坐标系下，

所以

35设

D：x²＋y²≤a²，则a为（　　）。

A．

B．

C．1

D．2

【答案】D

【解析】将方程用极坐标表示，

由题设，（2/3）πa³＝（16/3）π，得a＝2。

36设

其中Ω是由

所围成的，则I＝（　　）。

A．π/6

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设圆锥侧面，球面所围区域为Ω₁，球面与平面z＝1，圆锥面所围区域为Ω₂（见图1-3-2），则

图1-3-2

37设曲线积分∫_l[f（x）－e^x]sinydx－f（x）cosydy与路径无关，其中f（x）具有一阶连续导数，且f（0）＝0，则f（x）等于（　　）。

A．（e^－x－e^x）/2

B．（e^x－e^－x）/2

C．（e^x＋e^－x）/2－1

D．1－（e^x＋e^－x）/2

【答案】B

【解析】曲线积分∫_lP（x，y）dx＋Q（x，y）dy与路径无关，即∂P（x，y）/∂y＝∂Q（x，y）/∂x

P（x，y）＝[f（x）－e^x]siny，Q（x，y）＝－f（x）cosy，则由题设有∂P（x，y）/∂y＝∂Q（x，y）/∂x

即f′（x）＋f（x）－e^x＝0。由一阶微分方程通解公式知

又由f（0）＝0得，C＝－1/2，故有f（x）＝（e^x－e^－x）/2

38设平面曲线l：x²/4＋y²/9＝1，l₁：x²/4＋y²/9＝1，y≥0，其所围成的区域分别记为D和D₁，则有（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由对称性知

且

故有∫_l（x＋y²）ds＝2∫_l（x＋y²）ds

B项，

但

因此

C项，左端为0，但右端为2∫∫y³dxdy＞0，不相等。

D项，左端为

但

因此左、右两端也不相等。

39曲线r＝ae^bθ（a＞0，b＞0）从θ＝0到θ＝α（α＞0）的一段弧长为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用极坐标方程表示曲线的弧长公式，有：

40设函数f（x）连续，由曲线y＝f（x）在x轴围成的三块面积为S₁、S₂、S₃（S₁、S₂、S₃均大于0），如图1-3-3所示，已知S₂＋S₃＝p，S₁＝2S₂－q，且p≠q，则等于（　　）。

图1-3-3

A．p－q

B．q－p

C．p＋q

D．2（p－q）

【答案】B

【解析】由定积分几何意义得：

又S₂＋S₃＝p，S₁＝2S₂－q，则S₁－S₂＋S₃＝p－q，即

41设

则方程f（x）＝1在（1，＋∞）内的实根个数必为（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】

故f（x）单调递增且连续，f（1）＝0且

故x充分大后f（x）会大于任何数，因此方程f（x）＝1必有一个实根。

42设

f（x）可导，且f′（x）＞0，则（　　）。

A．F（0）是极大值

B．F（0）是极小值

C．F（0）不是极值，但（0，F（0））是曲线F（x）的拐点坐标

D．F（0）不是极值，（0，F（0））也不是曲线F（x）的拐点坐标

【答案】C

【解析】由

得到：

F″（x）＝f（x）＋xf′（x）－f（x）＝xf′（x）。F″（0）＝0。又由f′（x）＞0，当x＜0时，F″（x）＜0；当x＞0时，F″（x）＞0；因此（0，F（0））是曲线的拐点。

由F″（x）的符号可得：当x＜0时F′（x）单调递减，因此F′（x）＞F′（0）＝0；当x＞0时F′（x）单调递增，因此F′（x）＞F′（0）＝0，从而推得F（x）在（－∞，＋∞）单调递增，F（0）不是极值。