2.1 相关控制理论的基本概念与频域稳定判据

2.1.1 传递函数

一个线性定常控制系统的动态特性一般可以由下述n阶微分方程描述：

式中，x（t）和y（t）分别为系统的输入和输出变量；a_j（j=1，2，…，M）与b_l（l=1，2，…，K）分别为与系统结构和参数有关的常系数。

设x（t）和y（t）及其各阶导数在t=0时的取值均为零，即零初始条件。若对式（2.1）中各项分别求拉普拉斯变换，即可得系统在s域下的动态方程为

式中，Y（s）=L［y（t）］；X（s）=L［x（t）］。

线性定常系统的传递函数G（s）定义为零初始条件下，系统输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，即

传递函数可以表示系统将输入变量转换为输出变量的传递关系。一般来说，传递函数是一个关于复变量s的有理真分式，只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关。

下面介绍与传递函数定义相关的几个概念和术语。

（1）特征方程与特征根

若令传递函数G（s）中的分母多项式等于0，即可得传递函数的特征方程为

该特征方程的所有解称为传递函数的特征根。

（2）零点和极点

传递函数G（s）中的分子多项式和分母多项式经过因式分解后可表示为

式中，z_l为分子多项式的零点，称为传递函数的零点；p_j为分母多项式的零点，称为传递函数的极点，也是传递函数的特征根。

在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数的零极点分布图，图中一般用“○”表示零点，用“×”表示极点。