2.3 两相旋转坐标系下的数学模型

在OW-PMSM控制系统中，通过坐标变换，电磁转矩方程得到简化，定子电感矩阵常数化、对角化，使定子的磁链方程解耦，从而可以使交流电机的控制像直流电机控制一样简单。图2-3为电机建模时常用的坐标系，其中，三相静止坐标系（ABC坐标系）的三个轴分别与电机的三相绕组重合，A轴作为参考轴；两相静止坐标系（αβ0坐标系）的α轴与A轴重合，β轴超前α轴90°；同步旋转坐标系（dq0坐标系）与转子同步旋转，q轴超前d轴90°，且定义d轴与A轴的夹角θ_e为转子电角度。

在OW-PMSM系统控制策略的研究过程中，电机定子电流或电压通常需要在不同坐标系之间进行转换，下面用矩阵的方式介绍三种坐标系之间的转换关系。首先，从ABC坐标系变换至αβ0坐标系的变换矩阵为

从αβ0坐标系变换至ABC坐标系的变换矩阵为

从αβ0坐标系变换至dq0坐标系的变换矩阵为

从dq0坐标系变换至αβ0坐标系的变换矩阵为

联立式（2.3）和式（2.5）可以得到从ABC坐标系变换至dq0坐标系的变换矩阵：

同理，从dq0坐标系变换至ABC坐标系的变换矩阵为

传统PMSM系统中三相绕组连接于中性点，零序电流没有通路。但是在共直流母线OW-PMSM系统中，电机三相绕组中性点打开，转子永磁体磁链中存在三次谐波分量，导致三相反电动势中也存在三次谐波分量，从而产生零序电流。因此，在共直流母线OW-PMSM系统中需要考虑零序电流的影响，并对电机系统重新建模分析。

考虑到转子磁链中的三次谐波分量，转子磁链方程可表示为

式中，ψ_f为转子永磁体磁链基波分量；ψ_f3为转子永磁体磁链三次谐波分量。

在式（2.9）的基础上，将ABC坐标系下的磁链方程经过克拉克（Clarke）变换与帕克（Park）变换后可得到dq0坐标系下的磁链方程如下：

式中，ψ_d、ψ_q、ψ₀分别为d轴、q轴和零轴上的磁链；i_d、i_q、i₀为d轴、q轴和零轴上的定子电流；L_d、L_q、L₀为定子绕组在d轴、q轴和零轴上的电感。对于表贴式电机，L_d=L_q=L，零轴电感计算公式为L₀=L-2M。

OW-PMSM的电压方程揭示了电动机端电压与绕组电流之间的关系，三相静止坐标系中OW-PMSM的电压方程为

式中，u_a、u_b、u_c分别为电动机三相绕组的端电压；R为三相绕组的内阻；e_a、e_b、e_c分别为电动机在运行过程中三相绕组中的反电动势，其具体的表达式为

式中，P为永磁体的极对数；ω_m为电动机转子的机械角速度。

同理，利用坐标变换理论可以得OW-PMSM在同步旋转坐标系中的电压方程，如下所示。

式中，u_d、u_q、u₀为三相绕组端电压u_a、u_b、u_c经坐标变换得到的同步旋转坐标系中的端电压，并且i₀、u₀和e₀满足如下公式：

式中，u₀为零轴上的电压；ω_e为电气角速度；e₀为三次谐波反电动势。

此外，OW-PMSM的电压方程也可表示为

式中，u_dq0为OW-PMSM的电压；u_dq0-1和u_dq0-2分别为图2-1中逆变器1和逆变器2的电压。

在共直流母线OW-PMSM系统中，零序电流的产生主要来自两个方面：①双逆变器在三相绕组上产生共模电压；②系统反电动势中存在三次谐波分量。OW-PMSM系统中的零序电流等效回路如图2-4所示。

因此，零序电压方程可以表示为

如图2-4所示，零序回路由OW-PMSM和两个逆变器组成，主要包含定子电阻（R）、零序电感（L₀）和三次谐波零序反电动势。u₀₁和u₀₂表示双逆变器产生的共模电压。由此可见，零序回路的电压源由u₀₁、u₀₂和零序反电动势组成，零序电流的大小与回路的电压源、电阻和电感直接相关。由式（2.16）看出，可以通过控制两个逆变器输出的共模电压差来抵消零序反电动势，从而抑制零序电流。

另外，OW-PMSM系统的电磁转矩方程为

对于表贴式OW-PMSM，L_d=L_q=L，式（2.17）可化简为