2.2　随机误差

2.2.1　随机误差的正态分布性质

任何一次测量，随机误差的存在都是不可避免的。如对同一静态物理量进行等精度重复测量，每一次测量所得的测定值各不相同，尤其是在各测定值的尾数上，总是存在差异，表现出不定的波动状态。测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。

随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。在对大量的随机误差进行统计分析后，可以总结出随机误差分布的如下几点性质：

①有界性。在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。也就是说，随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。

②单峰性。随机误差具有分布上的单峰性。绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，零误差出现的概率比任何其他数值的误差出现的概率都大。

③对称性。大小相等、符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。

④抵偿性。在等精度测量条件下，当测量次数趋于无穷大时，全部随机误差的算术平均值趋于零，即

　　（2.4）

理论和实践都证明了：大多数测量的随机误差都服从正态分布的规律，其分布密度函数可用式（2.5）表示。

　　（2.5）

如果用测定值x本身来表示，则

（2.6）

式中，μ和σ是决定正态分布的两个特征参数。μ代表被测参数的真值，完全由被测参数本身所决定。当测量次数趋于无穷大时，有

　　（2.7）

σ称为均方根误差，表示测定值在真值周围的散布程度，由测量条件所决定。定义式为

　　（2.8）

μ和σ确定之后，正态分布就完全确定了。正态分布密度函数f（x）的曲线如图2.1所示。由曲线可以看出：正态分布很好地反映了随机误差的分布规律。

应该指出，在测量技术中并非所有随机误差都服从正态分布，还存在着一些非正态分布（如均匀分布、反正弦分布等）的随机误差。由于大多数测量误差服从正态分布，或可以由正态分布来代替，而且以正态分布为基础可使得随机误差分析处理大为简化，所以重点讨论以正态分布为基础的随机误差的分析和处理。

2.2.2　正态分布密度函数与概率积分

由式（2.6）可以看出，正态分布密度函数是一个曲线族，其参变量是特征参数μ和σ。在静态条件下，被测量真值μ是一定的。σ的大小表征着诸测定值在真值周围的弥散程度。不同σ值的正态分布密度曲线如图2.2所示。由图可见，σ值越小，曲线越尖锐，幅值越大；反之，σ值越大，幅值越小，曲线越趋于平坦。σ值小表明测量列中数值较小的误差占优势；σ值大则表明测量列中数值较大的误差相对比较多。因此可用参数σ表征测量的精密度。σ越小，表明测量的精密度越高。σ与真误差δ具有相同的量纲，因而把σ称为均方根误差。

随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得单个测量值的真误差δi的数值，只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现在某个区间的概率。