第二节　波动学

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1对平面简谐波而言，波长λ反映（　　）。[2017年真题]

A．波在时间上的周期性

B．波在空间上的周期性

C．波中质元振动位移的周期性

D．波中质元振动速度的周期性

【答案】B

【解析】波动传播时，同一波线上的两个相邻质点（相位之差为2π）之间的距离称为波长λ。波长反映了波在空间上的周期性。

2一平面简谐波的波动方程为y＝2×10^－2cos[2π（10t－x/5）]（SI），对x＝－2.5m处的质元，在t＝0.25s时，它的（　　）。[2016年真题]

A．动能最大，势能最大

B．动能最大，势能最小

C．动能最小，势能最大

D．动能最小，势能最小

【答案】D

【解析】在x＝－2.5m处的质元的波动方程为：y＝2×10^－2cos2π（10t＋0.5）；当t＝0.25s时，y＝2×10^－2cos6π，此时质元处于最大位移处，故速度最小，即动能最小。在波动中，质元的动能和势能的变化是同相位的，同时达到最大值，又同时达到最小值，故势能此时也最小。

3一横波的波动方程是y＝2×10^－2cos[2π（10t－x/5）]（SI），t＝0.25s，距离原点（x＝0）处最近的波峰位置为（　　）。[2014年真题]

A．±2.5m

B．±7.5m

C．±4.5m

D．±5m

【答案】A

【解析】t＝0.25s时，波形为：y＝2×10^－2cos[2π（5/2－x/5）]，波峰位置即质点振幅最大的位置。波峰位置的条件为：（5/2－x/5）2π＝2kπ（k＝0，±1，±2，…），则距离原点x＝0处最近的波峰位置为±2.5m。

4已知平面简谐波的方程为y＝Acos（Bt－Cx），式中A、B、C为正常数，此波的波长和波速分别为（　　）。[2017年真题]

A．B/C，2π/C

B．2π/C，B/C

C．π/C，2B/C

D．2π/C，C/B

【答案】B

【解析】将方程y＝Acos（Bt－Cx）与平面简谐波的标准方程y＝Acosω（t－x/u）对比得：波速u＝B/C，ω＝B。又由于ω＝2π/T，u＝λ/T，得波长：λ＝2π/C。

5在波的传播方向上，有相距3m的两质元，两者的相位差为π/6，若波的周期为4s，则此波的波长和波速分别为（　　）。[2017年真题]

A．36m和6m/s

B．36m和9m/s

C．12m和6m/s

D．12m和9m/s

【答案】B

【解析】相位差公式为：ΔΦ＝2π（Δx）/λ。代入相关参数得，π/6＝（2π×3）/λ。由于波长λ＝36m，则波速u＝λv＝λ/T＝9m/s。

6一平面简谐波的波动方程为y＝0.02cosπ（50t＋4x）（SI），此波的振幅和周期分别为（　　）。[2018年真题]

A．0.02cm，0.04s

B．0.02m，0.02s

C．－0.02m，0.02s

D．0.02m，25s

【答案】A

【解析】平面简谐波的波动方程为：y＝Acos[ω（t－x/u）＋φ₀]。对比可知，振幅A＝0.02m，ω＝50π。由T＝2π/ω可得，T＝0.04s。

7一横波沿一根弦线传播，其方程y＝－0.02cosπ（4x－50t）（SI），该波的振幅与波长分别为（　　）。[2013年真题]

A．0.02cm，0.5cm

B．－0.02m，－0.5m

C．－0.02m，0.5m

D．0.02m，0.5m

【答案】D

【解析】沿x轴正向传播的波动方程表达式为：y＝Acos[ω（t－x/u）＋φ₀]。因为ω＝2π/T，则波动方程可写为：y＝－0.02cosπ（4x－50t）＝－0.02cos50π（t－x/12.5）。故振幅为0.02m，波速为u＝12.5m/s，周期为T＝2π/50π＝（1/25）s，波长为λ＝uT＝（1/25）×12.5＝0.5m。

8一平面简谐波的波动方程为y＝2×10^－2cos2π（10t－x/5）（SI），则在t＝0.25s时处于平衡位置，且与坐标原点x＝0最近的质元的位置是（　　）。[2012年真题]

A．x＝±5m

B．x＝5m

C．x＝±1.25m

D．x＝1.25m

【答案】C

【解析】在t＝0.25s时刻，处于平衡位置，y＝0，由简谐波的波动方程y＝2×10^－2cos[2π（10×0.25－x/5）]＝0可知，cos[2π（10×0.25－x/5）]＝0，则2π（10×0.25－x/5）＝（2k＋1）π/2（k＝0，±1，±2，…）。由此可得：x＝5（9/4－k/2）。当x＝0时，k＝9/2。所以k取，或5；x＝±1.25时，与坐标原点x＝0最近。

9一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅A＝0.02m，周期T＝0.5s，波长λ＝100m，原点处质元初相位φ＝0，则波动方程的表达式（　　）。[2012年真题]

A．y＝0.02cos2π（t/2－0.01x）（SI）

B．y＝0.02cos2π（2t－0.01x）（SI）

C．y＝0.02cos2π（t/2－100x）（SI）

D．y＝0.002cos2π（2t－100x）（SI）

【答案】B

【解析】沿x轴正向传播的波动方程表达式为：y＝Acos[ω（t－x/u）＋φ₀]。又u＝λ/T，ω＝2π/T，故波动方程写为：y＝Acos[2π（t/T－x/λ）＋φ₀]。由于A＝0.02m，T＝0.5s，λ＝100m，φ₀＝0，代入波动方程公式可得：y＝0.02cos2π（2t－0.01x）（SI）。

10一平面简谐波的波动方程为y＝0.01cos10π（25t－x）（SI），则在t＝0.1s时刻，x＝2m处质元的振动位移是（　　）。[2018、2011年真题]

A．0.01cm

B．0.01m

C．－0.01m

D．0.01mm

【答案】C

【解析】波动方程的意义有：①当x一定时，波动方程表示坐标为x的质点的振动方程。②当t一定时，波动方程表示t时刻各质点的位移。故在t＝0.1s时刻，x＝2m处质元的振动位移是：y＝0.01cos10π（25t－x）＝0.01cos10π（25×0.1－2）＝－0.01m。

11在波的传播方向上，有相距为3m的两质元，两者的相位差为π/6，若波的周期为4s，则此波的波长和波速分别为（　　）。[2011年真题]

A．36m和6m/s

B．36m和9m/s

C．12m和6m/s

D．12m和9m/s

【答案】B

【解析】已知Δφ/2π＝Δx/λ，两质元Δx＝3m，Δφ＝π/6，则λ＝36m。因此，波速v＝λ/T＝9m/s。

12当机械波在媒质中传播，一媒质质元的最大形变量发生在（　　）。[2018年真题]

A．媒质质元离开其平衡位置的最大位移处

B．媒质质元离开其平衡位置的处（A为振幅）

C．媒质质元离开其平衡位置的A/2处

D．媒质质元在其平衡位置处

【答案】D

【解析】媒质质元的最大形变量发生在弹性势能最大的地方，当质元处在平衡位置时，其动能和势能同时达到最大值。

13一列机械横波在t时刻的波形曲线如图2-2-1所示，则该时刻能量处于最大值的媒质质元的位置是（　　）。[2013年真题]

图2-2-1

A．a

B．b

C．c

D．d

【答案】A

【解析】根据机械波能量的公式，质元的总机械能为：W＝W_K＋W_P＝ΔmA²ω²sin²[ω（t－x/u）]，则sin²[ω（t－x/u）]＝1。因此，当ω（t－x/u）＝π/2＋kπ时，能量取得最大值W＝ΔmA²ω²，a点符合。

14对于机械横波而言，下面说法正确的是（　　）。[2011年真题]

A．质元处于平衡位置时，其动能最大，势能为零

B．质元处于平衡位置时，其动能为零，势能最大

C．质元处于波谷处时，动能为零，势能最大

D．质元处于波峰处时，动能与势能均为零

【答案】D

【解析】在x处取一小块媒介，体积为∆V，质量∆m＝ρ∆V（质元）。此质元做简谐振动，当∆V中机械能增加时，说明上一个邻近体元传给它能量；当∆V中机械能减少时，说明它的能量传给下一个邻近体元。这正符合能量传播图。体元∆V中动能与势能同时达到最大值（当体元处在平衡位置y＝0时）及最小值（当体元处在最大位移y＝A时）。

15两相干波源，频率为100Hz，相位差为π，两者相距20m，若两波源发出的简谐波的振幅均为A，则在两波源连线的中垂线上各点合振动的振幅为（　　）。[2016年真题]

A．－A

B．0

C．A

D．2A

【答案】B

【解析】当两相干波源发出的波在某一点的相位差∆Φ＝Φ₂－Φ₁－2π（r₂－r₁）/λ为2π的整数倍时，合振动的振幅A＝A₁＋A₂；当为π的奇数倍时，合振动的振幅A＝|A₂－A₁|。在波源连线的中垂线上，r₂－r₁＝0，相位差∆Φ＝Φ₂－Φ₁＝π，故合振幅A＝|A₂－A₁|＝0。

16在波长为λ的驻波中，两个相邻的波腹之间的距离为（　　）。[2013年真题]

A．λ/2

B．λ/4

C．3λ/4

D．λ

【答案】A

【解析】驻波为两个振幅、波长、周期皆相同的正弦波相向行进干涉而成的合成波。此种波的波形无法前进，因此无法传播能量。驻波通过时，每一个质点皆作简谐运动。各质点振荡的幅度不相等，振幅为零的点称为节点或波节，振幅最大的点位于两节点之间，称为腹点或波腹。根据驻波的特点，相邻的两个波节（或波腹）之间的距离等于半个波长，即λ/2。

17两人轻声谈话的声强级为40dB，热闹市场上噪声的声强级为80dB，市场上声强与轻声谈话的声强之比为（　　）。[2012年真题]

A．2

B．20

C．10²

D．10⁴

【答案】D

【解析】声强级公式为：I_L＝ln（I/I₀）。式中，I₀＝10^－12W/m²为测定基准；I_L的单位为B（贝尔）。dB为B（贝尔）的十分之一，轻声谈话的声强级为40dB（分贝），即为4B（贝）。代入声强级公式，4＝lg（I/I₀），解得：I₁＝I₀×10⁴W/m²。同理可得热闹市场上声强I₂＝I₀×10⁸W/m²，可知市场上声强与轻声谈话的声强之比：I₂/I₁＝（I₀×10⁸）/（I₀×10⁴）＝10⁴。

18一声波波源相对媒质不动，发出的声波频率是υ₀，设一观察者的运动速度为波速的1/2，当观察者迎着波源运动时，他接收到的声波频率是（　　）。[2010年真题]

A．2υ₀

B．υ₀/2

C．υ₀

D．3υ₀/2

【答案】D

【解析】设波源为S，观察者为B，当观察者迎着波源运动时υ＝υ₀（1＋v_B/u），其中u为波速。已知v_B＝u/2，所以υ＝3υ₀/2。